Значение слова моноид

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом . Более подробно, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция , обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что ex = x = xe для любого x ∈ M. Элемент e называется единицей и часто обозначается 1. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Моноиды возникают в различных областях математики ; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций . Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков .

В теории категорий моноид (M, μ, η) в моноидальной категории (C,  ⊗ , I) — это объект M вместе с двумя морфизмами

• μ : M ⊗ M → M (называемый умножением),
• и η : I → M (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

а также диаграмма

коммутативны . Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория : I — единица категории, α, λ и ρ — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно , комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории C.

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии γ. Тогда моноид M называется симметричным, если