Большая Советская Энциклопедия
понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х0 называется функция, для которой f (x) = f (x0) [соответственно f (x) = f (x0)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x0, если для всякого e > 0 найдётся такое d > 0, что из |x - x0| < d вытекает f (x0) -≈ f (x) < e (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств П. ф. аналогичен свойствам непрерывных функций (см. Непрерывная функция ). Например:
если f (x) и g (x) П. ф. снизу, то и их сумма и произведение П. ф. снизу;
П. ф. снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов П. ф. снизу верно, например, следующее утверждение: если un³ 0 и все un (x) П. ф. снизу, то сумма ряда å¥n=1un (x) П. ф. снизу. П. ф. принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации .
Википедия
Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значение функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней.